donderdag 3 april 2014

Twaalf vierkeuzevragen

Ach, we doen het alleen bij het proefwerk statistiek in klas 2: twaalf vierkeuzevragen. Behalve makkelijk nakijken kan ik slechts één ander voordeel noemen van een meerkeuzetoets, namelijk eraan rekenen bij het hoofdstuk kans.
Ik klas 2 beperken we ons tot de kansdefinitie van Laplace: kans is gunstig/totaal
Voorwaarde hierbij is wel dat alle mogelijkheden evenveel kans hebben.

Voor de twaalf vierkeuzevragen uit het proefwerk statistiek, steeds met antwoorden A B C of D, geldt dat je deze op 412 = 16777216 verschillende manieren kunt invullen.
Als je die puur op de gok invult, dan heb je dus slechts 1 op de 16 a 17 miljoen kans dat je alles goed gokt. Niet erg groot dus.

Je kan op 312 = 531441 manieren alle vragen fout gokken. Dat lijkt enorm, maar op de 16777216 is dat slechts een kans van 3,2 %.

Op hoeveel manieren kun je precies 1 van de 12 vragen goed invullen (en dus ook 11 fout)? Bijvoorbeeld GFFF FFFF FFFF.  Nou, dat kan op 1*311 = 177147 manieren.
Maar vraagnummer 2 had ook goed kunnen zijn: FGFF FFFF FFFF. Daar zijn er ook 177147 van.
In totaal zijn er dus 12*1*311 = 2125764 manieren om precies 1 van de 12 vragen goed te doen. Dat is meer dan alles fout. De kans op precies 1 van de 12 goed is:
p(1 v/d 12 G) = 12*1*311/412  = 0,127 = 12,7%

De kans op 2 van de 12 vragen is nog groter namelijk:
p(2 v/d 12 G) =  66*12*310/412  = 0,232 = 23,2%
Die 66 kun je als volgt beredeneren.
GGFF FFFF FFFF Met de blauwe G voorop kan de rode G op 11 posities staan.
FGGF FFFF FFFF  Met de blauwe G op positie 2 kan de rode G nog slechts op 10 plekken staan.
FFGG FFFF FFFF  Met de blauwe G op positie 3 kan de rode G nog slechts op 9 plekken staan.
In totaal zijn er 11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1= 66 volgordes met 2 keer een G en 10 keer een F.
In een vorige les heb ik de leerlingen geleerd dat je dit ook kan uitrekenen met faculteiten en met nCr. Voor 2 goed en 10 fout bereken je 66 met 12!/(2!*10!) of nog sneller met 12C2.

Zodoende konden we vrij vlot onderstaande tabel vullen:
Je ziet dat de kans op 0 tot en met 7 van de 12 goed samen al 99,7% is en dat de kans op drie van de twaalf goed het grootst is, namelijk 25,8 %. Nogal wiedes, je verwacht bij vierkeuzevragen uiteraard dat je een kwart van de vragen sowieso goed gokt. De kans op 3 goed moet dan wel het grootst zijn. Bij 3 van de twaalf goed vinden wij dat het proefwerkcijfer één hoort. De overige negen vragen zijn dan 1 punt per stuk waard, dus 12 goed wordt een tien, 11 goed een negen, 10 goed een acht, 9 goed en zeven, 8 goed een zes, etc.
De kans op een voldoende (minstens 8 goed) als je de test puur op de gok invult is dus slechts 0,3%. Het loont dus om dit proefwerk goed voor te bereiden:-)

Proefwerk statistiek is overigens goed gemaakt, kans moet nog komen, maar dan alleen met vragen waarvan je alle mogelijkheden kunt uitschrijven, nCr is voor klas 4.







3 opmerkingen: