JJMMM 00111
JMJMM 01011
JMMJM 01101
JMMMJ 01110
MJJMM 10011
MJMJM 10101
MJMMJ 10110
MMJJM 11001
MMJMJ 11010
MMMJJ 11100
Ja, dat kan! Wel een heel verhaal.
Stel dat we 5 leerlingen A B C D en E (Anton, Bernard, Cornelia, Daphne en Esther) willen laten plaats nemen op 5 stoelen. Op hoeveel manieren kan dat?
Laten we die stoelen eens op een rij zetten en nummeren van 1 t/m 5.
Voor stoelnummer 1 zijn er 5 kandidaten, voor stoelnummer 2 dan nog slechts 4 kandidaten.
Voor de eerste twee stoelen zijn er dan al 20 mogelijkheden:
AB AC AD AE
BA BC BD BE
CA CB CD CE
DA DB DC DE
EA EB EC ED
Je zou dit mooi in een boomdiagram kunnen zetten, waarbij je eenvoudig ziet dat de eerste twee vertakkingen al 5 x 4 = 20 mogelijkheden opleveren, maar zonder boom moet het ook lukken toch? Belangrijk is dat je begrijpt dat je 5 KEER 4 moet doen, en niet bijvoorbeeld 5 plus 4, of 5 tot de macht 4, of 5 keer 5...
Voor stoelnummer 3 zijn er nog 3 kandidaten over. Voor de eerste drie stoelen heb je dus al 20 x 3 = 60 mogelijkheden. Je raadt het al, voor de eerste vier stoelen heb je dus 5 x 4 x 3 x 2 = 120 volgordes en voor 5 stoelen dus 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 volgordes. Voor de laatste stoel blijft er immers 1 leerling over. Een totaal van 120 volgordes dus, te veel om uit te schrijven.
Als je dit lastig vindt, probeer het dan eerst eens met minder leerlingen.
2 leerlingen kunnen op 2 manieren plaats nemen op 2 stoelen: XY en YX
3 leerlingen kunnen op 6 manieren plaatsnemen op 3 stoelen: XYZ XZY YXZ YZX ZXY ZYX
4 leerlingen kunnen op 24 manieren plaatsnemen op 4 stoelen. Je hebt immers keus uit 4 nieuwe kandidaten voor stoel nummer 1, waarbij de overige drie stoelen op 6 manieren bezet kunnen worden. Het totaal aantal manieren voor 4 leerlingen op 4 stoelen is dus 4*6 = 4*(3*2*1) = 24 manieren. 5 leerlingen kunnen dan op 5*24= 5*(4*3*2*1)= 120 manieren plaatsnemen.
Ik hoop dat je het begrijpt.
Op je rekenmachine zit een knopje x met een uitroepteken. Daarmee kun je snel 5 x 4 x 3 x 2 x 1 uitrekenen: 5 x 4 x 3 x 2 x 1 noteer je als 5! (spreek uit: 5 faculteit). Je rekenmachine geeft 120.
Maar hoe bereken je hiermee op hoeveel manieren je twee jongens en drie meisjes in volgorde kunt zetten? We zijn er bijna, nog even geduld!
Stel dat de jongens Anton (A) en Bernard (B) op stoelnummers 1 en 2 plaatsnemen en de drie meisjes Cornelia (C), Daphne (D) en Esther (E) op de overige stoelen, bijvoorbeeld als volgt:
ABCDE dan is dat dus een voorbeeld van JJMMM
Maar als A en B onderlinge wisselen, dan heb je nog steeds JJMMM, met andere woorden:
als je alleen maar op het geslacht let, en niet op de naam, dan verschilt ABCDE niet van BACDE.
Ook de meisjes kunnen onderling van stoel wisselen zonder dat er iets verandert aan JJMMM
Laat ik alle mogelijkheden met JJMMM eens opschrijven.
ABCDE BACDE
ABCED BACED
ABDCE BADCE
ABDEC BADEC
ABECD BAECD
ABEDC BAEDC
Dat zijn er dus twaalf. Ofwel van de 120 volgordes waarop 5 leerlingen A B C D E kunnen plaatsnemen, zijn er twaalf met JJMMM
Maar ook als de jongens helemaal rechts zitten en de meisjes links (MMMJJ), dan zijn daar er twaalf van, en om en om (MJMJM) kan ook op 12 manieren. Het maakt eigenlijk niet uit, overal waar twee jongens en drie meisjes plaatsnemen, daar zijn er twaalf van. Met andere woorden: die 120 moet je delen door twaalf om het aantal volgordes met twee jongens en drie meisje te berekenen.
Samenvattend.
Op hoeveel manieren kunnen twee jongens en drie meisjes plaatsnemen als je alleen op het geslacht let? Antwoord: op 5!/(2!*3!) = 120/ (2*6) = 120/12 = 10 manieren.
5! omdat 5 leerlingen ABCDE op 5*4*3*2*1= 120 manieren kunnen plaatsnemen
Delen door 2! omdat de twee jongens op 2*1 = 2 manieren onderling kunnen wisselen zonder dat het geslacht verandert. Ook delen door 3! omdat drie meisjes steeds onderling op 3*2*1 = 6 manieren kunnen wisselen zonder dat het geslacht verandert.
Op de rekenmachine is voor deze berekening een apart knopje beschikbaar: nCr
Als je intypt 5 nCr 2 (ofwel 5C2) dan geeft je rekenmachine direct het juiste aantal volgordes met twee jongens en drie meisjes, namelijk 10. Uiteraard geeft 5C3 hetzelfde antwoord 10, denk daar maar eens over na!
Nog een voorbeeld.
Hoeveel gezinssamenstellingen van vier kinderen zijn er met twee jongens en 2 meisjes?
Antwoord: 4C2 = 4!/(2!*2!)= 24/(2*2)= 24/4=6 Kijk maar
JJMM MJJM
JMJM MJMJ
JMMJ MMJJ
Vier leerlingen A B C en D kunnen op 4*3*2*1 = 24 manieren plaatsnemen op vier stoelen.
Delen door 2! = 2 omdat de jongens steeds kunnen wisselen zonder dat daarbij het geslacht verandert. Nog een keer delen door 2! = 2 omdat ook de twee meisjes kunnen wisselen zonder dat daarbij het geslacht verandert.
Geen opmerkingen:
Een reactie posten