vrijdag 4 april 2014

JJMMM (I)

Wat is de kans dat je in een willekeurig gezin met 5 kinderen twee jongens aantreft en drie meisjes?
Als jongens en meisjes evenveel kans hebben om geboren te worden, dan kun je hier goed de kansdefinitie van Laplace gebruiken: kans = gunstig/totaal.

Laten we alle mogelijke gezinssamenstellingen met vijf kinderen eens uitschrijven

JJJJJ  00000
JJJJM  00001
JJJMJ  00010
JJJMM  00011
JJMJJ  00100
JJMJM  00101
JJMMJ  00110
JJMMM  00111
JMJJJ  01000
JMJJM  01001
JMJMJ  01010
JMJMM  01011
JMMJJ  01100
JMMJM  01101
JMMMJ  01110
JMMMM  01111
MJJJJ  10000
MJJJM  10001
MJJMJ  10010
MJJMM  10011
MJMJJ  10100
MJMJM  10101
MJMMJ  10110
MJMMM  10111
MMJJJ  11000
MMJJM  11001
MMJMJ  11010
MMJMM  11011
MMMJJ  11100
MMMJM  11101
MMMMJ  11110
MMMMM  11111

Dat zijn er in totaal dus 32. Hoe schrijf je deze nou snel op zonder er eentje te vergeten, of eentje dubbel te doen? Hoe weet je dat het er 32 moeten worden? Als je begrijpt hoe binair tellen werkt, dan zie je dat als je de 0 vervangt door een J en de 1 vervangt door een M, dat alle volgordes netjes gesorteerd staan, van klein naar groot (zie de binaire getallen 00000 t/m 11111 ernaast).
Als iemand je vraagt: noem alle positieve gehele getallen onder de honderd eens op, dan doe je dat ook volgens een bepaald systeem. Ik zou het van klein naar groot doen: 1 2 3 .... 99 en niet alles door elkaar, dat is niet handig! Hetzelfde geldt voor alle gezinssamenstellingen met vijf kinderen, dat doe je niet door elkaar, maar in een handige volgorde. De volgorde die ik wil aanraden is die van het boomdiagram.


Het krijgen van kinderen is eigenlijk niet veel anders dan het werpen met munten :-)
Doe je consequent in het boomdiagram langs de tak omhoog kop en de tak omlaag munt, dan staan alle mogelijkheden met drie munten aan de uiteinden netjes in de goede volgorde:
KKK KKM KMK KMM MKK MKM MMK MMM
Voor 000 001 010 011 100 101 110 111 en JJJ JJM JMJ JMM MJJ MJM MMJ MMM is dat niet anders. Nu we de volgorde van het boomdiagram begrijpen, wil ik als tip nog meegeven hoe je 'copy en paste' kunt gebruiken om alle volgordes met 5 kinderen snel op te schrijven. Laten we klein beginnen.

Hoeveel manieren zijn er om 1 kind te krijgen?  Twee natuurlijk, het wordt een jongen of een meisje.

Hoeveel gezinssamenstellingen zijn er met 2 kinderen? Vier, namelijk JJ, JM, MJ en MM
(let op: JM en MJ is niet hetzelfde want er is er één de oudste en één de jongste)

En met drie kinderen? Nou dat zijn dezelfde vier met twee kinderen aangevuld met een jongen voorop, of dezelfde vier met een meisje voorop. In totaal dus acht.
JJJ  MJJ
JJM  MJM
JMJ  MMJ
JMM  MMM

Met vier kinderen heb je weer dubbel zoveel mogelijkheden, namelijk de acht van net met een jongen voorop, en dezelfde acht met een meisje voorop. Kortom, 16 gezinssamenstellingen met vier kinderen. Om ze alle 16 op te schrijven zou je goed copy paste kunnen gebruiken!

Met vijf kinderen heb je dus 2x2x2x2x2 = 25 = 32 mogelijkheden
Slechts 10 daarvan bevatten 2 jongens en drie meisjes. Ik heb ze hierboven in het roze gemarkeerd.
De kans dat je in een willekeurig gezin met vijf kinderen 2 jongens en 3 meisjes aantreft is dus 10 op de 32 ofwel 31,25 % kans. Let wel dat de kans op jongen/meisje dan steeds fifty/fifty moet zijn.

Over hoe je die 10 volgordes kunt vinden zonder ze alle 32 uit te schrijven een volgende keer meer.

1 opmerking: